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刘
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刘徽

数学家 · 《九章算术注》作者 · 割圆术创立者

刘徽是三国曹魏时期的数学家，约三世纪人，生卒年不详。他于魏景元四年（263年）完成《九章算术注》，提出“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”的割圆术，求得圆周率近似值 3.1416（后世称“徽率”）。他是中国古代数学由经验算法走向理论证明的关键人物。

生卒年传统说法“225—295”为后人推定，非确证，本页不写为确定年份；“山东邹平人”系后人据《宋史·算学祀典》等材料考定的“淄乡”说，非本人自述，亦非同时代明确记载。

生卒约三世纪（生卒年不详）
籍贯淄乡说待考（一说今山东邹平）
身份数学家 · 注释家
代表作《九章算术注》《海岛算经》
本人著作已证实通行说法待核存疑／传说
纪念区

刘徽纪念馆

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怎样读这份深度档案

刘徽生平几无史料：姓名之外，生卒年、籍贯、官职、师承皆无确证。本页把“本人著作”“近人考证”和“传说误读”拆开标注。A级表示出自刘徽本人著作或正史明载，B级表示通行说法但原始底本或细节仍待复核，C级只进入辨伪与待考区，不当作事实。

一 · 基本档案

关于刘徽，唯一确切的是263年完成《九章算术注》。其余一切——生年、卒年、籍贯、官职、师承——都只能写到“考证”为止。

姓名刘徽（字无考）
生年约三世纪二十年代后期至240年间 · 近人推算
籍贯淄乡说待考（一说今山东邹平）
时代三国曹魏
身份数学家 · 注释家
代表作《九章算术注》《海岛算经》
核心创造割圆术 · 重差术 · “微数”
师承自述“幼习《九章》”，无确证师承
史料状态正史无传；263年作注为唯一确证纪年
“徽幼习九章，长再详览。观阴阳之割裂，总算术之根源，探赜之暇，遂悟其意。是以敢竭顽鲁，采其所见，为之作注。”

刘徽《九章算术注·原序》通行转录本 · 本人著作 转录底本待核点校本

生年争议：传统“225—295”与近人推算并存

传统说法“225—295”为后人推定，无确证。近人据其思想受何晏、嵇康、王弼等玄学名士影响，推算生年与嵇康、王弼相近或稍晚，约在三世纪二十年代后期至240年间；则263年完成注时年仅三十上下或更小。本页不下结论，以推算说展示。

二 · 年表
约三世纪二十年代后期—240年间

刘徽 出生

生年无确证。近人据其自序“幼习《九章》”及思想受正始玄学影响，推算约生于此时段。传统“225年”说为后人推定，不作定论。

近人考证
魏景元四年（263年）

完成《九章算术注》

《晋书·律历志》《隋书·律历志》明载刘徽于景元四年注《九章》。注中除注释原文外，创立割圆术与重差术，论证勾股定理与多种立体体积，系统阐述正负数运算法则，并自述“采其所见，为之作注”。

正史明载 · 本人自序
263年之后

余生无考

作注之后的行迹、官职、卒年，一概不见于史料。传统“295年”卒年说为后人推定，无确证。

史料空白
三 · 原典精读

刘徽留下的几乎全是注文与一篇自序。这里保留原文语境、白话与论证结构。引文据网络通行转录，正式引用仍应回到中华书局点校本复核。

01

自序开篇：他为《九章》写了一部“学术史”

刘徽在自序里先交代《九章算术》从何而来，再交代自己为何作注——这是现存关于《九章》编纂最早最完备的记载。

“周公制礼而有九数。九数之流，则九章是矣。往者暴秦焚书，经术散坏。自时厥后，汉北平侯张苍、大司农中丞耿寿昌皆以善算命世。苍等因旧文之遗残，各称删补。故校其目则与古或异，而所论者多近语也。”

白话

周公制礼有“九数”，九数的流传，就是《九章》这部书。秦始皇焚书之后经术散坏。后来汉代的张苍、耿寿昌都以擅长算术闻名于世，他们依据旧文的残篇，各自做了删补，所以校核其篇目与古本或有出入，论述的多是接近当时口语的内容。

第一层

把《九章》接到周公

“九数之流，则九章是矣”——为《九章》建立正统源头，这是魏晋学者的典型笔法。

第二层

承认文本有层累

张苍、耿寿昌“因旧文之遗残，各称删补”——他不讳言经典经过后人加工。

第三层

为作注张本

正因为文本有残缺、有加工，才需要他“采其所见，为之作注”。

紧接着他写自己的学术自述：徽幼习九章，长再详览……事类相推，各有攸归，故枝条虽分而同本干者，知发其一端而已。数学知识在他眼中是一株大树：枝条虽分，同出一干；抓住一端，即可贯通全体。这是他为数学建立理论体系的纲领。 本人著作 转录底本待核

注文“两层内容”说

郭书春据自序“悟其意”与“采其所见”的区分指出：刘徽注中既有他自己的数学创造（“悟其意”者），也有前人的研究成果（“采其所见”者）。例如刘徽严厉批评前人用“周三径一”的错误，但注中又有大量段落仍用周三径一（如棊验法），应属“采其所见”。把注文全归于刘徽一人，会把他读成一个“成就极大但思想混乱”的人；剔除“采其所见”后，一位逻辑清晰的刘徽才跃然纸上。

02

割圆术：极限思想的中国式表达

注《九章》方田章“圆田术”时，刘徽以圆内接正多边形逐次倍增逼近圆，证明圆面积公式并求圆周率。

“以六觚之一面乘半径，因而三之，得十二觚之幂。若又割之，次以十二觚之一面乘半径，因而六之，则得二十四觚之幂。割之弥细，所失弥少。割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣。”

白话

取圆内接正六边形的一条边乘以半径，再乘以三，得到正十二边形的面积；再割下去，取十二边形的一条边乘半径，再乘以六，得到二十四边形的面积。割得越细，误差越小；一直割到无法再割，多边形就与圆周合为一体，毫无误差。

第一层

构造可计算的迭代

从六边形起算，每次边数翻倍，面积公式只用乘法——这是筹算时代能实际执行的算法。

第二层

出入相补证面积

他把多边形分割重排，证明圆面积等于“半周长乘半径”，补上了《九章》只有公式、没有证明的缺口。

第三层

“不可割”是极限语言

“以至于不可割，则与圆周合体”——用汉语句式说出了无限逼近的思想，比欧洲早一千余年。

数值结果：注文第一部分从正6边形割至正96边形，完整算出 π≈3.14（157/50）；第二部分仅一句话指出割至正1536边形可得 π≈3.1416（3927/1250），没有计算过程。2025年郭园园的研究指出，按第一部分的方法与数据继续算，至384边形便“不可再割”，推测第二部分实际用了精度估算。 本人著作 1536边形文本归属与估算方法待考

“算至192边形得3.1416”辨正

通行教材多称刘徽算至192边形得3.1416，但注文原文本写的是96边形（得3.14）与1536边形（得3.1416）两段。“192边形”说法的最早出处待查，疑为教材简化。本页按注文原文表述。

03

重差术：“立两表于洛阳之城”

自序后半是重差术的总纲。刘徽自述“辄造重差，并为注解，以究古人之意，缀于句股之下”——重差卷是他自撰自注，附于全注之末。

“凡望极高、测绝深而兼知其远者必用重差，句股则必以重差为率，故曰重差也。立两表于洛阳之城，令高八尺。南北各尽平地，同日度其正中之景。以景差为法，表高乘表间为实，实如法而一，所得加表高，即日去地也。”

白话

凡是望极高、测极深又兼知其远的测量，必用重差法；句股法则必以重差为比率，所以叫“重差”。在洛阳城立两根八尺高的表，南北都选平地，同一天测量正午的日影：以两影之差为除数，表高乘两表距离为被除数，相除所得再加表高，就是太阳离地的高度。

他接着给出方法总诀：度高者重表，测深者累矩，孤离者三望，离而又旁求者四望。测高用两次立表，测深用累矩，孤立难测者望三次，更难的望四次——“触类而长之，则虽幽遐诡伏，靡所不入”。 本人著作 “正中之景”一作“正中之时”，异文待核

“洛阳测日”是算例，不是传记事件

“立两表于洛阳之城”是自序中的推算示例（算日高），不能据此写成“刘徽曾至洛阳实测日影”的生平事件。本页旧版本曾将其列为“一说”，本次予以纠正：只在精读中呈现，不入年表。

04

牟合方盖与“敢不阙疑”

注开立圆术时，刘徽构造“牟合方盖”（两圆柱正交的公共部分），指出球体积与牟合方盖之比为 π∶4，但以当时之力求不出牟合方盖的精确体积。

“欲陋形措意，惧失正理，敢不阙疑，以俟能言者。”

白话

想要用粗陋的形体来安放我的想法，又怕失去正确的道理，怎敢不把疑问保留下来，等待能说清楚的人。

他把解不出的题原样留下，约二百年后，祖冲之之子祖暅之据此完成了球体积公式——正是回应了刘徽的“阙疑”。这是中国数学史上最动人的一次跨时空接力。 本人著作转录

05

阳马、鳖臑与出入相补

注商功章论证立体体积时，刘徽把出入相补原理从平面推广到立体，提出堑堵分割后阳马与鳖臑的体积比。

“阳马居二，鳖臑居一，不易之率也。”

白话

同一堑堵分割成的阳马（一棱垂直于底的四棱锥）与鳖臑（四面皆直角三角形的三棱锥），体积之比恒为二比一，这是颠扑不破的比率。

后人把这一思想概括为“刘徽原理”——注意这是后人的命名，不是刘徽本人的说法。他的证明方法是“棊验法”：用小立方块堆积验证，与出入相补的图形割补并用。 注文通行转录，上下文待核点校本

四 · 名言三级可信度

刘徽名言的流传史本身就是一部校勘史：旧版本把一句混合误记当了多年“自序原文”。这一组把可证、待核与误传清楚分开。

本人著作可查

可作为原话引用

出自刘徽自序或注文，通行转录本一致。

割之弥细，所失弥少。割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣。《九章算术注》圆田术注 · 割圆术总纲
以六觚之一面乘半径，因而三之，得十二觚之幂。同上 · 割圆术算法
事类相推，各有攸归，故枝条虽分而同本干者，知发其一端而已。《九章算术注·原序》 · 数学体系观
至于以法相传，亦犹规矩度量可得而共，非特难为也。同上 · 数学可传授、可验证
欲陋形措意，惧失正理，敢不阙疑，以俟能言者。牟合方盖注 · 科学品格
度高者重表，测深者累矩，孤离者三望，离而又旁求者四望。《九章算术注·原序》 · 重差术总诀
通行待核

能谈，但不能冒充定本

广泛流传，但底本异文或细节待复核。

阳马居二，鳖臑居一，不易之率也。商功章注文通行转录 · 上下文与异文待核点校本
立两表于洛阳之城，令高八尺……以景差为法，表高乘表间为实。自序重差段 · “正中之景”一作“正中之时”
徽幼习九章，长再详览。自序 · 本页旧版本曾误作“敷析以究其意，庶尽以后之览者”，已按转录本改正
凡望极高、测绝深而兼知其远者必用重差。自序 · “重差”得名之解
误传剔除

只用于辨伪

查无出处、误读或后人命名，不当作刘徽原话。

敷析以究其意，庶尽以后之览者。本页旧版本所引“自序原文”，两份通行转录本均无此句，疑为混合误记，已剔除。
刘徽原理是刘徽本人提出的定理名称。“刘徽原理”为后人对其立体出入相补思想的概括命名，非其本人所称。
刘徽（225—295）。生卒年为后人推定，非确证；作定论写即是误传。
石匠切石，刘徽顿悟割圆术。后世通俗演绎，无古籍依据，详见轶事tab。
辨伪结论

“敷析以究其意”一句的剔除说明：即使是本站自己旧版本的内容，也要经得起转录本核对。名言的第一标准永远是出处，不是流传度。

五、六 · 师承与关系图谱

刘徽自述“幼习《九章》”，但师承何人、正史无载。这里只写有出处可核的关系：他序中点名的人、同时代的数学家、继承他的后人。

《九章算术》汉代成书的实用算法集
张苍 / 耿寿昌刘徽序自述其删补旧文
刘徽注《九章》263年 · 为每术补上证明
唐·李淳风等656年整理，列入《算经十书》
祖冲之 / 祖暅之沿割圆术与牟合方盖推进
清·戴震从《永乐大典》辑出《海岛算经》
现代数学史研究郭书春、钱宝琮等重新发现刘徽

关系档案 · 10组

张苍 / 耿寿昌

汉代整理《九章》旧文的前贤。刘徽在自序中交代其“因旧文之遗残，各称删补”——这是刘徽亲笔写下的学术谱系起点。

本人自序
赵爽

同时代数学家，注《周髀算经》，作“勾股圆方图注”，给出勾股定理的图形证明。两人一注《九章》、一注《周髀》，同为魏晋论证数学的开创者；无证据表明二人有直接交往。

时代并列，交往无考
何晏 / 嵇康 / 王弼

正始玄学名士。刘徽注文受当时辩难之风影响，有语句与之相类；近人据此推算刘徽生年与之相近。思想氛围上的同代人，非师承关系。

近人考证
张衡

东汉科学家，曾用 √10≈3.16、736/232≈3.172 为圆周率。刘徽在注中批评 √10“数值过大”——这是中国圆周率史上第一次有论证的交锋。

注文明载批评
王蕃

孙吴天文学家，用 142/45≈3.156 为圆周率。与刘徽同为三世纪的圆周率探索者，分属魏吴两地。

通行说法
祖冲之 / 祖暅之

继承者。祖冲之沿割圆术把圆周率推进到小数点后七位（计算过程已佚）；祖暅之完成了刘徽“阙疑”留下的球体积问题。刘徽注是两人工作的直接起点。

数学史公认
李淳风

唐代整理者。唐初李淳风等奉敕整理算经，将刘徽“重差”卷单行，题为《海岛算经》，与刘徽注《九章》一并列入《算经十书》，成为国子监明算科教材。

算经沿革可证
沈括

千年后的对话者。沈括在《梦溪笔谈》中评议过刘徽的会圆术，并提出自己的弧矢算法——刘徽之说在千年之后仍是被讨论、被超越的对象。

通行说法待核原文
戴震

清代辑佚者。《海岛算经》宋刻本亡佚后，戴震从《永乐大典》中辑出今传本（仅9问，且无刘徽自注）——今天读到的《海岛算经》，是经他手抢救回来的。

版本沿革可证
郭书春 / 钱宝琮

现代研究者。郭书春提出注文“悟其意”与“采其所见”两层内容说，重新划定了刘徽本人的思想边界；钱宝琮等参与《九章算术》的现代校点与数学史研究。

学术史转述
关于“师承”必须诚实

刘徽自述“幼习《九章》”，但师从何人、官任何职，正史与注文一概不载。本页不为他编造老师，不把“受玄学影响”写成“师从王弼”。

七 · 轶事与传说

刘徽没有传记轶事传世。下面几条，一半是注文里的真实细节，一半是后世的想象——分层呈现。

把解不出的题留给后人

注开立圆术，刘徽构造牟合方盖后算不出它的体积，写下“敢不阙疑，以俟能言者”。约二百年后，祖冲之之子祖暅之完成了球体积公式。这不是传说，是注文原文与数学史实——一位学者最体面的“认输”。

本人注文

“立两表于洛阳之城”的真相

旧版本曾把这句话当作“刘徽曾至洛阳测日影”的传记事件。本次核对确认：它是自序中的推算示例（算日高），不是行迹记录。一个流传多年的“一说”，就这样被放回了它原本的位置。

自序算例 · 已纠正旧误

石匠切石悟割圆

通俗读物里讲：刘徽偶遇石匠切割石头，看方形石被切去四角成八角、再切成十六角，直至成圆柱，由此悟出割圆术。画面很美，但无任何古籍依据，纯属后世演绎。

传说 · 非史实

被画成耄耋老人的青年学者

按传统“225—295”生卒说，有画家把注《九章》的刘徽画成满脸皱纹的老人。但近人考证他263年作注时年仅三十上下——画像画的不是刘徽，是“225—295”这个未经证实的数字。

形象误读

没有传、没有墓的一生

《三国志》没有刘徽传，《晋书》没有刘徽传。他的姓名只活在自己注文的自序里，和《隋书·律历志》的一行记载中。一个奠定了中国数学理论基础的人，生平只剩下263年这一个钉死的年份——这本身就是最值得记住的“轶事”。

史料现状
为什么保留传说

“石匠悟割圆”不能证明割圆术的由来，却能说明后世如何把抽象的极限思想改写成可传播的故事。保留它，是为了观察记忆如何生成，不是把传说升级为史实。

八 · 招牌栏目

他本人只留下一部注和一篇序。今天我们谈论的“刘徽”，是六层文化记忆逐层叠加的结果——从唐代教材到现代教科书。

自序给了他学者的自画像，唐代给了他教材地位，清代给了他失而复得的《海岛算经》，现代教科书给了他“徽率”之名，网络给了他石匠的故事和一对未经证实的生卒年份。

自序中的学者自画像

“幼习《九章》，长再详览”“敢竭顽鲁，采其所见，为之作注”——这是刘徽亲笔写下的自己：一个以注书为业、不讳言“采其所见”的学者。

最接近本人0

唐代算学教材作者

李淳风等整理《算经十书》，刘徽注《九章》与单行的《海岛算经》成为国子监明算科教材与考试内容。“刘徽”从此是一个官方认证的学术权威名字。

制度化1

清代戴震的抢救

《海岛算经》宋刻本亡佚，戴震从《永乐大典》辑出9问传本（无刘徽自注）。今天读到的《海岛算经》是清代辑佚本，不是刘徽亲定的面貌——但若无此次抢救，重差术的完整文本可能就失传了。

文本经转手2

现代教科书里的“徽率”

割圆术进入中小学数学教材，“割之弥细，所失弥少”成为极限思想的中文经典表述；3.1416被称作“徽率”。注意“徽率”之名是后人所加，最早出处待考。

通俗化命名3

2013年邹平1750周年研讨会

刘徽注《九章》1750周年之际，国内外学者在邹平（“淄乡”考定地）举行国际学术研讨会。地方记忆与学术研究在此交汇，“邹平人刘徽”的形象被进一步巩固。

地方记忆介入4

网络通俗形象

石匠切石悟割圆的故事、“225—295”生卒框、把自序算例当成“洛阳测日影”传记事件——网络时代的刘徽，被补上了许多他本人没有的东西。

传说混入史实5
没有留下画像

刘徽没有任何同时代画像传世。今天能见到的刘徽画像、雕像均为后世想象，没有图像学依据。本页人物字像“以单字为识”，正是不虚构容貌的选择。

九、十 · 墓址与精神遗产

刘徽是极少数连墓址传说都没有的人物。本次检索未发现任何墓志、地方志墓说或考古线索。这里如实呈现“无”，不虚构凭吊路线。

墓址无考

没有任何史料记载刘徽葬于何处：无墓志传世，地方志无墓说，考古无线索。一个为中国数学奠基的人，没有留下可凭吊的墓。

无记载，非否定性结论

山东邹平（淄乡说）

近人据《宋史·算学祀典》等考定其籍贯“淄乡”在今山东邹平一带；2013年注《九章》1750周年国际学术研讨会在此举行。这是籍贯考定地，不是墓址，不宜当作“刘徽墓”宣传。

考定地，非墓址

真正的“墓志铭”是注文

刘徽的自序写清了他的学术自述，注文写清了他的全部思想。后人要找他，不必找一座墓，去读《九章算术注》即可。

著作即遗产
凭吊提示

本页不提供刘徽墓的参观路线，因为没有确证的墓。邹平一带有与刘徽相关的纪念活动与研讨传统，出行前请以当地官方公告为准，不轻信“刘徽墓”“刘徽故里”类未经证实的宣传。

他留下了什么

  1. 极限思想的中国式表达

    割圆术把“无限逼近”写成了可执行的算法，中国数学第一次拥有了计算圆周率到任意精度的完整程序。

  2. 重差术与中国测量学

    “度高者重表，测深者累矩”，两次观测取差数的思想，使中国测量学在明末西法传入前再无大的突破。

  3. 出入相补与“刘徽原理”

    从平面割补到立体体积比，他把一种证明方法变成了贯穿几何的通用工具。

  4. “敢不阙疑”的科学品格

    算不出的题原样留下，等待后人。祖暅之二百年后接上了这一棒——这是比答案更珍贵的遗产。

  5. 数学是可传授、可验证的

    “至于以法相传，亦犹规矩度量可得而共”——数学不靠神秘，靠人人可重复的法度。这是他留给所有后来者的信念。

十一 · 争议、待考与来源

“待考”不是页面的漏洞，而是史料边界的一部分。以下缺口不为追求完整而填补。

  1. 据中华书局点校本（郭书春、刘钝校点《九章算术》）复核本页全部引文、卷次与异文。
  2. 核对“割圆术第二部分”（1536边形、3927/1250）的文本归属：是否确为刘徽原文，抑或后人窜入。
  3. 核实“算至192边形得3.1416”说法的最早出处（疑为教材简化，与注文96→1536两段不合）。
  4. 核实火星地貌“刘徽”命名的官方记录：本页旧版本称2021年8月IAU批准命名，本次中英文检索均未找到IAU行星地名名录佐证，暂列待核，不写入正文。
  5. 核对“徽率”一词的最早出处（疑出自李俨、钱宝琮或《中国数学史大系》）。
  6. 核对“阳马居二，鳖臑居一”注文的点校本原文与上下文。
  7. 核对“微数”在少广章注中的具体用例与术语范围。
  8. 核对自序“正中之时／景”异文（转录本作“正中之景”，百科转录作“正中之时”）。
  9. 核对“以径寸之筳望日”句中“筳”字的版本异文。
  10. 查刘徽在《隋书·经籍志》《旧唐书·经籍志》中的著录情况。
  11. 查李淳风等唐初整理《算经十书》时对刘徽注的取舍（戴震发现的“窜乱”问题）。
  12. 查山东邹平有无刘徽纪念设施（不写未经证实的凭吊信息）。

完整资料入口

本人著作转录

学术研究

百科与通俗材料

编辑说明

  • 引文底本：本页古文引文据网络通行转录本，正式出版引用须回到中华书局点校本复核；异文并存处已逐条标注。
  • 生卒年：不写“225—295”为定论；生年采用近人推算（二十年代后期至240年间），卒年无考。
  • 火星命名：旧版本“2021年8月IAU命名刘徽地貌”一说，本次未能找到官方佐证，已移入待考，不写入正文。
  • 图片：刘徽无同时代画像传世，本页不配后世想象画像；人物字像“以单字为识”。
  • 研究日期：2026年9月21日。